1.4 Aspectos matemáticos de la graficación (Geometría Fractal)

¿QUÉ ES LA GEOMETRÍA FRACTAL?

La geometría fractal ofrece un modelo alternativo que busca una regularidad en las relaciones entre un objeto y sus partes a diferentes escalas. Esta forma de regularidad no precisa el encorsetamiento del objeto en otras formas geométricas que, aunque elementales, no dejan de ser externas al mismo, sino que busca la lógica interna del propio objeto mediante relaciones intrínsecas entre sus elementos constitutivos cuando estos se examinan a diferentes escalas. De esta forma no se pierden ni la perspectiva del objeto global, ni del aspecto del mismo en cada escala de observación. La geometría fractal busca y estudia los aspectos geométricos que son invariantes con el cambio de escala.

Los orígenes de la geometría fractal se remontan a finales del siglo XIX y principios del XX con la aparición en el campo de las matemáticas de conjuntos geométricos de propiedades aparentemente paradójicas. En dichos conjuntos (curvas de Peano, conjunto de Cantor...) parecía existir una discordancia entre su tamaño real y su configuración espacial como conjunto de puntos.

Los ejemplos plantearon la necesidad de establecer una separación a la hora de estudiar la medida del tamaño y el estudio de la forma o de las formas geométricas. Con esto surgió lo que hoy se denomina teoría geométrica de la medida.

La teoría geométrica de la medida, tuvo su punto de arranque con la definición del concepto de dimensión de Hausdorff, el cual establecía la distinción del tamaño de los conjuntos paradójicos y que sentó sus bases con los trabajos de Besicovitch durante los años 20 y 30 en los que estudió las propiedades geométricas de los conjuntos planos, esto sería el prototipo de lo que hoy se llamamos fractales, siendo sus trabajos la base de la geometría fractal. A partir de entonces muchos matemáticos continuarán el estudio de este tipo de conjuntos.

En 1977, B. Mandelbrot, en su obra “The fractal Geometry of Nature” defenderá la idea de que las formas de la naturaleza son fractales y múltiples procesos de la misma, se rigen por comportamientos fractales.

En 1981, Hutchinson publica un trabajo en el que desarrolla el concepto de conjunto autosemejante, el cual será básico en geometría fractal y ha tenido gran importancia en el desarrollo posterior de la misma.

Un punto clave en el desarrollo de la geometría fractal o teoría de la medida ha sido el descubrimiento del caos determinista y el desarrollo del ordenador. En sistemas dinámicos, el valor x0 de un estado en el presente se va a transformar con el tiempo, debido a una función fija F, e irá tomando valores sucesivos que bajo ciertas condiciones se van acercando a un conjunto “A” del sistema, a veces puede ocurrir que dicho conjunto tenga estructura fractal, que suele ir unido a la circunstancia de que dos puntos próximos pueden dar lugar a futuros que se acercan y se alejan con el tiempo aleatoriamente. Obteniéndose así una situación que siendo determinista, va a ser impredicible, esto es lo que se denomina caos determinista.

Por otra parte, la exploración de los futuros x0, x1, ...., xn mediante las iteraciones de la función F, se ve facilitada enormemente por el ordenador que nos va a permitir aproximarnos a la geometría de estos conjuntos extraños.